第13回：リッカチ方程式と最適性
Riccati Equation and Optimality
📐 代数リッカチ方程式 (ARE)
A
T
P + PA − PBR
−1
B
T
P + Q = 0
Q (状態の重み):
1.0
R (入力の重み):
1.0
ARE を解く
🔢 解の行列 P
P = [ 1.732 1.000 ] [ 1.000 1.732 ]
最適ゲイン K = R
−1
B
T
P
K = [1.000, 1.732]
最適コスト V(x₀) = x₀
T
Px₀
V([1,0]) = 1.732
🌀 ハミルトン行列の固有値
安定固有値（左半平面）から P を計算
📈 微分リッカチ方程式の解
P(t) の要素の時間発展（後退積分）
📊 コスト関数の等高線
🎯 最適軌道
⚖️ LQR のロバスト性
ゲイン余裕
GM ≥ ∞ (理論上)
K を 0.5〜∞ 倍しても安定
位相余裕
PM ≥ 60°
優れた過渡応答
リターン差等式
|1 + L(jω)| ≥ 1
すべての周波数で成立