第9回：可観測性

Observability

1. 可観測性の定義

1.1 状態の可観測性

システム $(A, C)$ において、初期状態 $\mathbf{x}(0)$ が 可観測 とは：

有限時間 $[0, t_f]$ の出力 $\mathbf{y}(t)$ の観測から $\mathbf{x}(0)$ を一意に決定可能

1.2 システムの可観測性

すべての初期状態が可観測のとき、システムは 完全可観測 と呼ばれます。

2. 可観測性の判定

2.1 可観測性行列

$$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$$

定理（カルマン）： $(A, C)$ が可観測 ⟺ $\text{rank}(\mathcal{O}) = n$

2.2 例

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$$
$$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$\text{rank}(\mathcal{O}) = 2$ なので可観測。

3. 可観測性のグラム行列

3.1 定義

$$W_o(t) = \int_0^t e^{A^T\tau}C^TCe^{A\tau}d\tau$$

3.2 判定条件

$(A, C)$ が可観測 ⟺ ある $t > 0$ で $W_o(t)$ が正定値

3.3 初期状態の推定

出力観測から初期状態を復元：

$$\mathbf{x}(0) = W_o^{-1}(t_f) \int_0^{t_f} e^{A^T\tau}C^T \mathbf{y}(\tau)d\tau$$

4. 可観測正準形

可観測なシステムは座標変換により以下の形に変換可能：

$$A_o = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_1 \end{bmatrix}, \quad C_o = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

5. 双対性

5.1 可制御性と可観測性の双対関係

$(A, B)$ が可制御 ⟺ $(A^T, B^T)$ が可観測

$(A, C)$ が可観測 ⟺ $(A^T, C^T)$ が可制御

5.2 双対システム

元のシステム：$\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}$, $\mathbf{y} = C\mathbf{x}$

双対システム：$\dot{\mathbf{z}} = A^T\mathbf{z} + C^T\mathbf{v}$, $\mathbf{w} = B^T\mathbf{z}$

6. 可観測性の物理的意味

  • 可観測 = 出力からすべての状態の情報が得られる
  • 不可観測 = 出力に現れない隠れた状態（モード）が存在
  • オブザーバ設計には可観測性が必要

7. 可検出性（Detectability）

不安定なモードが可観測であれば 可検出 と呼ばれます。

オブザーバによる安定な推定には可検出性で十分。

8. PBH可観測性テスト

定理（Popov-Belevitch-Hautus）：

$(A, C)$ が可観測 ⟺ すべての $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して

$$\text{rank}\begin{bmatrix} \lambda I - A \\ C \end{bmatrix} = n$$

9. 最小実現

9.1 定義

伝達関数 $G(s)$ の状態空間実現 $(A, B, C, D)$ が 最小実現 とは：

状態の次元 $n$ が可能な限り小さい実現。

9.2 条件

定理： $(A, B, C, D)$ が最小実現 ⟺ $(A, B)$ が可制御かつ $(A, C)$ が可観測

9.3 伝達関数との関係

  • 不可制御モード → 極零相殺により伝達関数に現れない
  • 不可観測モード → 同様に相殺される

10. まとめ

| 性質 | 行列条件 | 意味 |

|------|---------|------|

| 可観測 | $\text{rank}(\mathcal{O}) = n$ | 全状態が推定可能 |

| 可検出 | 不安定モードが可観測 | 安定なオブザーバが存在 |

| 最小実現 | 可制御 + 可観測 | 伝達関数の次数 = 状態次元 |

  • 可観測性はオブザーバ設計の前提条件
  • 可観測性行列 $\mathcal{O}$ のランクで判定
  • 可制御性と可観測性は双対関係
  • 最小実現 = 可制御かつ可観測