第8回：可制御性 - 制御工学ノート

1. 可制御性の定義

システム $(A, B)$ において、状態 $\mathbf{x}_0$ が 可制御 とは：

有限時間 $t_f$ と入力 $\mathbf{u}(t)$ が存在して、$\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ から $\mathbf{x}(t_f) = \mathbf{0}$ へ移動可能

すべての状態が可制御のとき、システムは 完全可制御 と呼ばれます。

\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}

定理（カルマン）： $(A, B)$ が可制御 ⟺ $\text{rank}(\mathcal{C}) = n$

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}

$\det(\mathcal{C}) = -1 \neq 0$ なので $\text{rank}(\mathcal{C}) = 2$、可制御。

W_c(t) = \int_0^t e^{A\tau}BB^Te^{A^T\tau}d\tau

$(A, B)$ が可制御 ⟺ ある $t > 0$ で $W_c(t)$ が正定値

$\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ から $\mathbf{x}(t_f) = \mathbf{0}$ への最小エネルギー入力：

\mathbf{u}^*(t) = -B^T e^{A^T(t_f-t)} W_c^{-1}(t_f) e^{At_f} \mathbf{x}_0

可制御なシステムは座標変換により以下の形に変換可能：

A_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & \cdots & -a_2 & -a_1 \end{bmatrix}, \quad B_c = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

不可制御なシステムでは、可制御な部分空間を特定：

\mathcal{R}(\mathcal{C}) = \text{Im}(\mathcal{C})

この部分空間内の状態のみ制御可能。

定理（Popov-Belevitch-Hautus）：

$(A, B)$ が可制御 ⟺ すべての $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して

\text{rank}\begin{bmatrix} \lambda I - A & B \end{bmatrix} = n

不可制御モードは $A$ の固有ベクトルで $B$ と直交するもの。

離散時間システム $\mathbf{x}_{k+1} = A_d\mathbf{x}_k + B_d\mathbf{u}_k$ に対しても同様：

\mathcal{C}_d = \begin{bmatrix} B_d & A_dB_d & \cdots & A_d^{n-1}B_d \end{bmatrix}

$\text{rank}(\mathcal{C}_d) = n$ ⟺ 可制御

定理： システム $(A, B)$ において、不安定な固有値に対応するモードが可制御ならば、

状態フィードバックにより安定化可能（可安定性）。

| 判定法 | 条件 |

|-------|------|

| ランク条件 | $\text{rank}(\mathcal{C}) = n$ |

| グラム行列 | $W_c(t) > 0$ |

| PBHテスト | $\text{rank}[\lambda I - A \; B] = n$ |