第7回：リアプノフ方程式 - 制御工学ノート

1. リアプノフ安定性理論

リアプノフ関数 $V(\mathbf{x})$ は、システムのエネルギーのような量を表す正定値関数です。

正定値関数の条件：

システム $\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x})$ について：

$V(\mathbf{x})$ が正定値
$\dot{V}(\mathbf{x}) = \frac{\partial V}{\partial \mathbf{x}} f(\mathbf{x}) \leq 0$ （負準定値）

ならば、原点は安定。

さらに $\dot{V}(\mathbf{x}) < 0$ （負定値）ならば 漸近安定。

線形システム $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}$ に対し、2次形式：

V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}

ここで $P$ は正定値対称行列。

\dot{V} = \dot{\mathbf{x}}^T P \mathbf{x} + \mathbf{x}^T P \dot{\mathbf{x}}

= \mathbf{x}^T A^T P \mathbf{x} + \mathbf{x}^T P A \mathbf{x}

= \mathbf{x}^T (A^T P + P A) \mathbf{x}

$\dot{V} = -\mathbf{x}^T Q \mathbf{x}$ となるためには：

$$A^T P + P A = -Q$$

これが 連続時間リアプノフ方程式 です。

定理： $A$ が安定（すべての固有値が左半平面）⟺ 任意の正定値 $Q$ に対して一意な正定値解 $P$ が存在

クロネッカー積を用いて行列方程式を連立方程式に変換：

\text{vec}(A^T P + P A) = (I \otimes A^T + A^T \otimes I)\text{vec}(P) = -\text{vec}(Q)

MATLAB: `P = lyap(A', Q)`

Python (scipy): `P = solve_continuous_lyapunov(A.T, -Q)`

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 \end{bmatrix}, \quad Q = I

リアプノフ方程式を解くと：

P = \begin{bmatrix} \frac{a_0 + a_1^2 + 1}{2a_0 a_1} & \frac{1}{2a_0} \\ \frac{1}{2a_0} & \frac{a_0 + 1}{2a_0 a_1} \end{bmatrix}

V(\mathbf{x}) = c \quad (\text{定数})

は楕円を描く。$P$ の固有ベクトルが楕円の主軸方向。

漸近安定ならば、軌道は常により小さなレベルセットへ移動：

\dot{V} < 0 \Rightarrow \text{軌道は内側へ}

離散時間システム $\mathbf{x}_{k+1} = A\mathbf{x}_k$ に対して：

$$A^T P A - P = -Q$$

安定条件： すべての固有値の絶対値が1未満

$A^T P + PA < 0$ を満たす $P > 0$ の存在が安定性と等価。

リアプノフ方程式は $H_\infty$ ノルムの計算にも使用：

\|G\|_{\infty}^2 < \gamma^2 \Leftrightarrow \exists P > 0: A^T P + PA + \frac{1}{\gamma^2}PBB^T P + C^T C < 0