第7回：リアプノフ方程式
Lyapunov Equation and Stability Analysis
📊 システム行列 A
リアプノフ方程式を解く
安定な例
不安定な例
固有値:
λ = -1.5 ± 0.866j
安定性:
安定
🔢 リアプノフ方程式の解 P
A
T
P + PA = -Q (Q = I)
P = [ 1.500 0.250 ] [ 0.250 0.625 ]
V(x) = x
T
Px =
1.5x₁² + 0.5x₁x₂ + 0.625x₂²
P の固有値:
0.5, 1.625
P は正定値:
Yes
🌀 位相平面とリアプノフ関数の等高線
V(x) = c (等高線)
状態軌道
-∇V (最急降下方向)
📈 V(t) の時間変化
漸近安定ならば V(t) → 0 as t → ∞
⚙️ 初期状態の設定
初期 x₁:
2.0
初期 x₂:
1.0
リアプノフの定理:
V(x) > 0 かつ V̇(x) < 0 ならば漸近安定
V̇ = x
T
(A
T
P + PA)x = -x
T
Qx < 0