1. 安定性の概念
1.1 内部安定性（漸近安定性）
システム $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}$ が 漸近安定 とは：
$$\lim_{t \to \infty} \mathbf{x}(t) = \mathbf{0} \quad \text{(任意の初期値に対して)}$$
1.2 BIBO安定性
有界入力有界出力（BIBO）安定 とは：
任意の有界入力に対して出力も有界
$$|u(t)| < M_u \quad \Rightarrow \quad |y(t)| < M_y$$
1.3 安定性の関係
- 漸近安定 → BIBO安定（最小実現の場合）
- BIBO安定 ↛ 漸近安定（不可観測・不可制御モードがある場合）
2. 固有値と安定性
2.1 安定性の判定条件
定理： 線形時不変システム $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}$ が漸近安定であるための必要十分条件は：
$$\text{Re}(\lambda_i) < 0 \quad \text{すべての固有値 } \lambda_i \text{ に対して}$$
2.2 固有値の実部と応答
| 固有値の性質 | 応答の挙動 |
|------------|----------|
| Re(λ) < 0 | 減衰（安定） |
| Re(λ) = 0 | 持続振動（臨界安定） |
| Re(λ) > 0 | 発散（不安定） |
2.3 複素固有値と振動
$\lambda = \sigma \pm j\omega$ の場合：
- $\sigma < 0$：減衰振動
- $\sigma = 0$：持続振動
- $\sigma > 0$：発散振動
振動周波数は $\omega$、減衰率は $|\sigma|$ に依存
3. 安定領域と極配置
3.1 s平面における安定領域
複素平面において：
- 左半平面 (LHP: Left Half Plane)：安定領域
- 虚軸：臨界安定境界
- 右半平面 (RHP: Right Half Plane)：不安定領域
3.2 極と応答特性
極の位置により過渡応答の性質が決まる：
$$\text{減衰比: } \zeta = \frac{-\sigma}{\sqrt{\sigma^2 + \omega^2}}$$
$$\text{固有角周波数: } \omega_n = \sqrt{\sigma^2 + \omega^2}$$
4. 特性方程式と代数的安定判別
4.1 特性方程式
$$\det(sI - A) = s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1}s + a_n = 0$$
4.2 安定のための必要条件
すべての係数が正（同符号）：
$$a_i > 0 \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$$
注意： これは必要条件であり、十分条件ではない。
4.3 ラウス・フルビッツの安定判別法
ラウス表を構成し、第1列の符号変化の回数が右半平面の極の数。
2次系の場合： $s^2 + a_1 s + a_2 = 0$
- 安定条件：$a_1 > 0$ かつ $a_2 > 0$
3次系の場合： $s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3 = 0$
- 安定条件：$a_1 > 0$, $a_2 > 0$, $a_3 > 0$, $a_1 a_2 > a_3$
5. 時間応答と極の関係
5.1 支配極
実部の絶対値が最も小さい極が応答を支配。
$$\text{整定時間} \approx \frac{4}{|\sigma_{\text{dom}}|}$$
5.2 高速極の影響
支配極から十分離れた極は過渡応答への影響が小さい。
6. フィードバックによる安定化
不安定なシステムも状態フィードバック $\mathbf{u} = -K\mathbf{x}$ により安定化可能（可制御性が必要）。
閉ループ系：
$$\dot{\mathbf{x}} = (A - BK)\mathbf{x}$$
$K$ の設計により $(A - BK)$ の固有値を左半平面に配置。
7. まとめ
- 漸近安定 ⟺ すべての固有値が左半平面
- 極の実部が応答の減衰率、虚部が振動周波数を決定
- ラウス・フルビッツ法で代数的に安定判別が可能
- フィードバックにより極を移動させて安定化