第5回：伝達関数と状態空間表現

1. 伝達関数の定義

初期値ゼロの条件下で、入力 $U(s)$ と出力 $Y(s)$ のラプラス変換の比：

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}

状態方程式：

\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}

\mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u}

ラプラス変換（初期値ゼロ）：

$$sX(s) = AX(s) + BU(s)$$

$$Y(s) = CX(s) + DU(s)$$

$X(s)$ を消去：

X(s) = (sI - A)^{-1}BU(s)

Y(s) = [C(sI - A)^{-1}B + D]U(s)

したがって：

G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D

伝達関数の極（分母の根）は、行列 $A$ の 固有値 に一致します。

\det(sI - A) = 0 \quad \Rightarrow \quad s = \lambda_i

状態空間表現の固有値がすべて伝達関数の極として現れるとは限りません。

可制御でない または 可観測でない モードは相殺されます。

G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D = C \cdot \frac{\text{adj}(sI-A)}{\det(sI-A)} \cdot B + D

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = 0

sI - A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix}

\det(sI-A) = s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2)

(sI-A)^{-1} = \frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix} s+3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}

G(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} s+3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{(s+1)(s+2)}

G(s) = \frac{b_1s^{n-1} + \cdots + b_n}{s^n + a_1s^{n-1} + \cdots + a_n}

A_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_1 \end{bmatrix}

B_c = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C_c = \begin{bmatrix} b_n & b_{n-1} & \cdots & b_1 \end{bmatrix}

A_o = A_c^T, \quad B_o = C_c^T, \quad C_o = B_c^T

相異なる極 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ の場合、部分分数展開：

G(s) = \frac{r_1}{s - p_1} + \frac{r_2}{s - p_2} + \cdots + \frac{r_n}{s - p_n}

A_d = \begin{bmatrix} p_1 & & \\ & p_2 & \\ & & \ddots \end{bmatrix}, \quad B_d = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \end{bmatrix}, \quad C_d = \begin{bmatrix} r_1 & r_2 & \cdots \end{bmatrix}

同じ伝達関数を持つ状態空間表現は無数に存在します。

座標変換 $\tilde{\mathbf{x}} = T\mathbf{x}$ による等価な実現：

\tilde{A} = TAT^{-1}, \quad \tilde{B} = TB, \quad \tilde{C} = CT^{-1}, \quad \tilde{D} = D

状態の次元が最小となる実現を 最小実現 と呼びます。

多入力多出力システムの伝達関数行列：

G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D \in \mathbb{R}^{p \times m}

各要素 $G_{ij}(s)$ は入力 $j$ から出力 $i$ への伝達関数。