1. 遷移行列の計算法
行列指数関数 $e^{At}$ を計算する方法は複数あります。
2. ラプラス変換による方法
2.1 基本公式
$$e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\{(sI - A)^{-1}\}$$
導出： 状態方程式 $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}$ のラプラス変換：
$$sX(s) - \mathbf{x}_0 = AX(s)$$
$$(sI - A)X(s) = \mathbf{x}_0$$
$$X(s) = (sI - A)^{-1}\mathbf{x}_0$$
逆変換して $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0$ と比較。
2.2 計算手順
- $sI - A$ を計算
- $(sI - A)^{-1}$ を求める（余因子行列と行列式を使用）
- 各要素を逆ラプラス変換
2.3 例：2次系
$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix}$$
$$sI - A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 6 & s+5 \end{bmatrix}$$
$$\det(sI - A) = s(s+5) + 6 = s^2 + 5s + 6 = (s+2)(s+3)$$
$$(sI - A)^{-1} = \frac{1}{(s+2)(s+3)}\begin{bmatrix} s+5 & 1 \\ -6 & s \end{bmatrix}$$
部分分数展開と逆変換で $e^{At}$ を得る。
3. 対角化による方法
3.1 対角化可能な場合
$A$ が対角化可能で $A = PDP^{-1}$（$D$ は固有値の対角行列）のとき：
$$e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$$
$$e^{Dt} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots \\ 0 & e^{\lambda_2 t} & \cdots \\ \vdots & & \ddots \end{bmatrix}$$
3.2 計算手順
- 固有値 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots$ を求める
- 対応する固有ベクトルから $P$ を構成
- $e^{Dt}$ を計算
- $e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$
3.3 複素固有値の場合
$\lambda = \alpha \pm j\omega$ のとき、実数形式で：
$$e^{\alpha t}\begin{bmatrix} \cos\omega t & \sin\omega t \\ -\sin\omega t & \cos\omega t \end{bmatrix}$$
4. ケーリー・ハミルトンの定理を用いた方法
4.1 定理
任意の正方行列 $A$ は自身の特性方程式を満たす：
$$\chi_A(A) = A^n + a_{n-1}A^{n-1} + \cdots + a_1A + a_0I = 0$$
4.2 応用
$e^{At}$ は $A$ の $n-1$ 次以下の多項式で表現可能：
$$e^{At} = \alpha_0(t)I + \alpha_1(t)A + \cdots + \alpha_{n-1}(t)A^{n-1}$$
係数 $\alpha_i(t)$ は固有値から決定される連立方程式を解いて求める。
4.3 2次系の場合
$$e^{At} = \alpha_0(t)I + \alpha_1(t)A$$
相異なる固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ の場合：
$$\begin{cases} e^{\lambda_1 t} = \alpha_0 + \alpha_1 \lambda_1 \\ e^{\lambda_2 t} = \alpha_0 + \alpha_1 \lambda_2 \end{cases}$$
解いて：
$$\alpha_0 = \frac{\lambda_1 e^{\lambda_2 t} - \lambda_2 e^{\lambda_1 t}}{\lambda_1 - \lambda_2}, \quad \alpha_1 = \frac{e^{\lambda_1 t} - e^{\lambda_2 t}}{\lambda_1 - \lambda_2}$$
5. 級数展開による数値計算
5.1 定義式の直接計算
$$e^{At} = \sum_{k=0}^{N} \frac{(At)^k}{k!}$$
$N$ を十分大きくとれば近似精度が向上。
5.2 パデ近似
より効率的な数値計算法：
$$e^{At} \approx [N_m(At)][D_m(At)]^{-1}$$
多くの数値計算ライブラリで採用。
6. シルベスターの公式
相異なる固有値 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ をもつ場合：
$$e^{At} = \sum_{i=1}^{n} e^{\lambda_i t} \prod_{j \neq i} \frac{A - \lambda_j I}{\lambda_i - \lambda_j}$$
7. まとめ
| 方法 | 利点 | 欠点 |
|-----|-----|-----|
| ラプラス変換 | 直接的 | 手計算が煩雑 |
| 対角化 | 見通しが良い | 対角化不可能な場合あり |
| ケーリー・ハミルトン | 任意の行列に適用可 | 重根で場合分け |
| 級数展開 | 数値計算向き | 収束に注意 |