第4回：遷移行列の計算

Computing the State Transition Matrix

📊 システム行列 A

特性方程式: det(sI - A) = 0
s² + 5s + 6 = 0
固有値:
λ₁ = -2, λ₂ = -3

🔧 計算方法の選択

ラプラス変換法: e^(At) = L⁻¹{(sI-A)⁻¹}

📝 計算ステップ

📈 遷移行列 e^(At)

e^(At) = [ 3e⁻²ᵗ - 2e⁻³ᵗ e⁻²ᵗ - e⁻³ᵗ ] [ -6e⁻²ᵗ + 6e⁻³ᵗ -2e⁻²ᵗ + 3e⁻³ᵗ ]
t = 1.0 での数値: [ 0.356 0.086 ] [-0.516 0.135 ]

🔢 数値検証

解析解と級数展開の比較（一致すれば正しい）

⚖️ 計算方法の比較

方法 利点 欠点 適用条件
ラプラス変換 直接的で理論的 逆変換が煩雑 任意の行列
対角化 計算が簡潔 対角化不可の場合あり 対角化可能行列
ケーリー・ハミルトン 常に適用可能 重根で場合分け必要 任意の行列
級数展開 数値計算向き 打ち切り誤差 任意の行列