第3回：状態方程式の解 - 制御工学ノート

1. 問題設定

線形時不変システムの状態方程式：

\dot{\mathbf{x}}(t) = A\mathbf{x}(t) + B\mathbf{u}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0

この初期値問題の解を求めます。

入力がない場合 $\mathbf{u}(t) = 0$：

\dot{\mathbf{x}}(t) = A\mathbf{x}(t)

スカラー方程式 $\dot{x} = ax$ の解は $x(t) = e^{at}x_0$ です。

行列の場合も同様に：

\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0

ここで $e^{At}$ は 行列指数関数 です。

e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \cdots

性質：

入力がある場合の一般解：

\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)}B\mathbf{u}(\tau)d\tau

導出： 定数変化法を用いて $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{c}(t)$ とおき、微分方程式に代入：

e^{At}\dot{\mathbf{c}}(t) + Ae^{At}\mathbf{c}(t) = Ae^{At}\mathbf{c}(t) + B\mathbf{u}(t)

\dot{\mathbf{c}}(t) = e^{-At}B\mathbf{u}(t)

積分して：

\mathbf{c}(t) = \mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{-A\tau}B\mathbf{u}(\tau)d\tau

状態遷移行列（State Transition Matrix） $\Phi(t)$ は：

\Phi(t) = e^{At}

時刻 $t_0$ から $t$ への遷移を表す：

\Phi(t, t_0) = e^{A(t-t_0)}

状態と出力の関係 $\mathbf{y}(t) = C\mathbf{x}(t) + D\mathbf{u}(t)$ より：

\mathbf{y}(t) = Ce^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t Ce^{A(t-\tau)}B\mathbf{u}(\tau)d\tau + D\mathbf{u}(t)

初期状態がゼロのとき：

\mathbf{y}(t) = \int_0^t g(t-\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau + D\mathbf{u}(t)

ここで $g(t) = Ce^{At}B$ は インパルス応答行列 です。

入力 $\mathbf{u}(t)$ に対する出力は畳み込み積分で表現：

\mathbf{y}(t) = (g * \mathbf{u})(t) = \int_0^t g(t-\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau

ラプラス変換 では：

$$Y(s) = G(s)U(s)$$

ここで $G(s) = C(sI-A)^{-1}B + D$ は伝達関数行列です。

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

固有値：$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2$

遷移行列（対角化により）：

e^{At} = \begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}

解：

\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}